\section{子群和商群　习题答案}

\subsubsection{习题}

\begin{exercise}
	其一可以构造成$H_1 = \{M \in \text{GL}_2(\RR) \mid |M| = 1\}$。

	其二可以构造成$H_2 = \{M \in \text{GL}_2(\RR) \mid \log_2|M| \in \ZZ\}$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	采用反证法，假设存在一个非平凡子群$H < G$。而$|H| \notin \{1,p\}$。
	根据Lagrange定理，$|H| \mid p$，而这不可能。\qed
\end{exercise}

\begin{exercise}
	令$H = \{a \in G \mid a^n = e\}$。任取$h_1, h_2 \in H$
	$$(h_1\rev h_2)^n=(h_1^n)\rev h_2^n = e\rev e = e$$
	因此$h_1\rev h_2 \in H$，所以$H < G$。\qed
\end{exercise}

\begin{exercise}
	任取$g \in G$，我们分情况讨论。
	\begin{description}
		\item[\heiti 如果$g \in H$：] {
		      则显然$gH = Hg = H$。
		      }
		\item[\heiti 如果$g \notin H$：] {
		      由于$[G:H] = 2$，
		      则$G$关于$H$的左陪集只有$H$、$gH$；
		      关于$H$的右陪集只有$H$、$Hg$。
		      而
		      $$
			      \begin{cases}
				      H \cap gH = \varnothing \\
				      H \cup gH = G
			      \end{cases}
			      \qquad
			      \begin{cases}
				      H \cap Hg = \varnothing \\
				      H \cup Hg = G
			      \end{cases}
		      $$
		      这也就说明$Hg = gH = G-H$。
		      }
	\end{description}

	综上，$gH = Hg$，所以$H \lhd G$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	任取$h \in H$，$k \in K$。因为$H,K \lhd G$，
	所以总存在一个$h_1 \in H$，$k_1 \in K$，使得$h\rev k\rev h = k_1$，$k\rev h k = h_2$。
	考虑元素$h\rev k\rev h k$，
	$$
		\begin{aligned}
			h\rev k\rev h k & = k_1 k \in K     \\
			                & = h\rev h_2 \in H \\
		\end{aligned}
	$$
	这说明了$h\rev k\rev h k \in K \cap H = \{e\}$，也就是
	$h\rev k\rev h k = e$，变形得到$hk = kh$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	我们采用反证法，我们假设有这么一组满足条件的真子群$H,K$。
	任取$a \in G-H$，首先显然$a\rev \in G-H \subseteq K$。
	接下来，任取$h \in H$，$ah \in G-H \subseteq K$（因为如果$ah \in H$，那么就有$h_1 \in H$使得$ah=h_1$，也就有$a=h_1h\rev \in H$，矛盾）。

	因为$a\rev \in K$，$ah \in K$，所以根据群的封闭性，$a\rev ah = h \in K$，
	由于$h$是任意取的，所以$H \subseteq K$，但考虑到$H \cup K = G$，那么$K = G$，这与$K$是真子群矛盾。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	首先$\bar{e} \subseteq G$是显然的。

	我们任意取$a,b \in \bar{e}$，
	$$a R e \Rightarrow (ae) R( aa\rev )\Rightarrow e R a\rev$$
	同理可证$e R b\rev$。根据传递性，$b\rev R a\rev$，接下来
	$$b\rev R a\rev \Rightarrow (a\rev a b\rev) R (a\rev e) \Rightarrow (ab\rev) R e \Rightarrow ab\rev \in \bar{e}$$
	这也就说明了$\bar{e} < G$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	任取$a \in G$，令$K = aHa\rev$。

	我们先证明$K$是一个子群。任取$k_1 = ah_1 a\rev \in K$，$k_2 = ah_2 a\rev \in K$。
	$$
		\begin{aligned}
			k_1k_2\rev & = ah_1a\rev (ah_2a\rev)\rev \\
			           & = ah_1a\rev ah_2\rev a\rev  \\
			           & = ah_1h_2\rev a\rev \in K
		\end{aligned}
	$$
	这说明了$K < G$。

	我们接下来证明$|K| = |H|$，我们构造一个映射$\varphi: H \rightarrow K$，定义为
	$$\varphi: h \mapsto aha\rev$$
	首先，$\varphi$是一个单射：
	$$\varphi(h_1)=\varphi(h_2) \Rightarrow ah_1a\rev = ah_2a\rev \Rightarrow h_1 = h_2$$
	其次，$\varphi$是一个满射，这是显然的。
	因此$\varphi$是一个一一映射，这也就说明了$|K|=|H| = m$。

	结合以上两点。由于$G$中只有一个阶为$m$的子群，所以$H = K = aHa\rev$，这就说明了$H$是一个正规子群。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	\begin{enumerate}
		\item {
		      显然有$N_G(H) \subseteq G$。
		      任取$g_1,g_2 \in N_G(H), h\in H$，都有
		      \begin{align*}
			      (g_1g_2\rev) h (g_1g_2\rev)\rev = g_1g_2\rev hg_2g_1\rev
		      \end{align*}
		      通过正规化子的定义，$g_2\rev h g_2 \in H$，进而$g_1g_2\rev hg_2g_1\rev \in H$，
		      这说明$g_1g_2\rev \in N_G(H)$，进而说明$N_G(H) < G$。
		      }
		\item {
		      任取$h \in H, g \in N_G(H)$，都有$ghg\rev \in H \tc H \lhd N_G(H)$。
		      }
	\end{enumerate}
\end{exercise}

\subsubsection{补充题}

\begin{exercise}
	记$m = \min\{\mid a - b \mid \mid a,b \in H,  a\ne b\}$，
	显然，$m \in H$，进而$2m,3m,\cdots \in H$，这说明$m\mathbb{Z} \subseteq H$。

	另一方面，假设存在$t \in H$，满足$t \not \in m\mathbb{Z}$，
	对$t$做除以$m$的带余除法（i.e. 总存在整数$n$和非负整数$r<m$，满足$t=nm+r$）,
	根据$t$的选取，我们知道$r > 0$，则$\mid t - nm \mid = \mid r \mid < m$，
	然而$t, nm \in H$，这与$m$的选取矛盾，进而$H \subseteq m\mathbb{Z}$。综上，$H = m\mathbb{Z}$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	构造映射
	$$
		\phi: H_1 \times H_2 \map H_1H_2    \qquad  (h_1, h_2) \mapsto h_1h_2
	$$
	显然$\phi$是满射。对于任意$g = h_1h_2 \in H_1H_2$
	$$
		\phi\rev(\{h_1h_2\}) = \{(h_1h\rev, hh_2) \mid h \in H_1 \cap H_2\}
	$$
	这说明$\mid H_1 \times H_2 \mid = \mid H_1 \mid\mid H_2 \mid = \mid H_1H_2 \mid \mid H_1\cap H_2\mid$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	假设$G = \{a \in M \mid a \text{是可逆元}\}$。

	$G$的封闭性显然。

	任取$g_1,g_2\in G$，$g_2\rev g_1\rev g_1 g_2 = e \tc g_1g_2\in G$，封闭性得证。

	假设存在一个$g \in G$，任取$t \in G$，$gt \ne e$，
	但是鉴于$g$是可逆元，故总存在$t' \in M-G$，$gt'=t'g=e$，这说明$t'$是可逆元，进而$t' \in G$，矛盾。
	进而总存在$g$的逆元。

	$ee=e\tc e \in G$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
	\begin{enumerate}
		\item {
		      结合律、封闭性是显然的。$(e,e')$是单位元。
		      对于任意的$(a,b) \in A\times B$，都有$(a,b)(a\rev,b\rev)=(e,e')$，这说明逆元总是存在。
		      }
		\item {
		      任取$(g,e') \in A_1, (a,b)\in A\times B$，总有
		      $$
			      (a,b)(g,e')(a,b)\rev = (aga\rev, be'b\rev) = (aga\rev, e') \in A_1
		      $$
		      进而$A_1\lhd A\times B$。同理可证$B_1 \lhd A\times B$。
		      }
		\item {
			$A_1 \cap B_1 = \{(e,e')\}$过于显然，不证。另一方面
			\begin{align*}
				A_1B_1 &= \{(a,e')(e,b) \mid a \in A, b \in B\}	\\
					&= \{(a,b) \mid a \in A, b \in B\} = A\times B
			\end{align*}
		      }
	\end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
	\begin{enumerate}
		\item {
			$\Longrightarrow$：一方面，任取$kh \in KH$，可知$(kh)\rev = h\rev k\rev \in HK$，
			因为$HK < G$，故$((kh)\rev) \rev = kh \in HK$，故$KH \subseteq HK$。
			另一方面，任取$hk \in HK$，总存在$h_1k_1 = (hk)\rev$，而$hk = (h_1k_1)\rev = k_1\rev h_1\rev  \in HK$，
			这说明$HK \subseteq KH$。综上$HK=KH$。

			$\Longleftarrow$：任取$h_1k_1,h_2k_2 \in HK$，要证$HK < G$，只需证$h_1k_1(h_2k_2)\rev = h_1k_1k_2\rev h_2\rev \in HK$。
			因为$h_1k_1k_2\rev \in HK=KH$，则总存在$k_3h_3 \in KH$，s.t. $h_1k_1k_2\rev = k_3h_3$，
			进而$h_1k_1k_2\rev h_2\rev = k_3h_3h_2\rev \in KH = HK$，这也就说明了$HK < G$。
		}
		\item {
			分情况讨论，假若是$K \lhd G$，则任取$h_1k_1,h_2k_2 \in HK$，都有
			$$h_1k_1k_2\rev h_2\rev \in K \subseteq HK \tc HK < G$$

			假若是$H \lhd G$，则同样任取$h_1k_1,h_2k_2 \in HK$，都有
			\begin{align*}
				h_1k_1k_2\rev h_2\rev 	&= k_1k_1\rev h_1k_1k_2\rev h_2\rev k_2k_2\rev	\\
										&= k_1h_3k_2\rev	\qquad	\text{（令}k_1\rev h_1k_1k_2\rev h_2\rev k_2 = h_3\text{）}	\\
										&= (k_1h_3k_1\rev) (k_1k_2\rev) \in HK	\\
										&\tc HK < G
			\end{align*}
		}
		\item {
			任取$g \in G,hk \in HK$，都有$ghkg\rev = ghg\rev gkg\rev \in HK \tc HK \lhd G$。
		}
	\end{enumerate}
\end{exercise}